집합 \(X=\{1,2,3,4,5\}\)에 대하여 \(X\)에서 \(X\)로의 함수 \(f\)가 조건 (가) \(x_1 \lt x_2\)이면 \(f(x_1) \le f(x_2)\)를 만족시킨다.
(1) 조건 (가)를 만족시키는 함수 \(f\)의 개수를 구하시오.
(2) 조건 (가)와 \(f(3)=3\)을 동시에 만족시키는 함수 \(f\)의 개수를 구하시오.
(3) 조건 (가), \(f(3)=3\), \(f(1)+f(5)=6\)을 모두 만족시키는 함수 \(f\)의 개수를 구하시오. (단, 경우를 나누는 기준을 명시하시오.)

실수 \(k\)에 대하여 \(x\)에 대한 방정식 \[4^x-k\cdot 2^{x+1}+8=0\]이 있다.
(1) 이 방정식이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.
(2) (1)의 두 실근을 \(\alpha, \beta\)라 할 때, \(\alpha+\beta\)는 \(k\)의 값에 관계없이 일정함을 보이고 그 값을 구하시오.
(3) \(|\alpha-\beta|=1\)일 때 \(k\)의 값을 구하시오.

반지름의 길이가 \(3\)인 구에 원뿔이 내접한다. (원뿔의 꼭짓점과 밑면의 둘레가 모두 구면 위에 있다.) 원뿔의 높이를 \(h\,(0\lt h\lt 6)\)라 하자.
(1) 원뿔의 밑면의 반지름의 길이 \(r\)를 \(h\)에 대한 식으로 나타내고, 부피 \(V(h)\)를 구하시오.
(2) \(V(h)\)가 최대가 되는 \(h\)의 값과 그때의 부피를 구하시오.
(3) (2)일 때 원뿔의 옆넓이를 구하시오.

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\,(t\ge0)\)에서의 속도가 \(v(t)=t^2-4t+3\)이다.
(1) 점 \(\mathrm{P}\)의 운동 방향이 바뀌는 시각을 모두 구하고, 시각 \(t=4\)에서의 위치를 구하시오.
(2) 시각 \(t=0\)에서 \(t=4\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 움직인 거리를 구하시오.
(3) 출발한 후 점 \(\mathrm{P}\)가 다시 원점에 위치하는 시각을 구하시오.